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第一章　数学哲学的基本问题1

1.1 关于数学对象的本体论问题2

1.1.1 朴素的数学实在论及其认识论难题3

1.1.2　朴素的数学反实在论及其可应用性难题7

1.1.3 二十世纪各数学哲学流派对本体论问题的回答8

1.2 关于数学语言的意义问题16

1.2.1 数学实在论的意义理论及其难题17

1.2.2 数学反实在论的意义理论及其难题20

1.2.3 二十世纪各数学哲学流派对意义问题的回答24

1.3 关于数学知识的认识论问题25

1.3.1 数学实在论的认识论难题25

1.3.2　数学反实在论的认识论任务29

1.4　数学的分析性与先天性31

1.4.1 什么是数学的分析性与先天性问题31

1.4.2　传统哲学的回答34

1.4.3　二十世纪数学哲学流派的各种回答38

1.5　数学的客观性39

1.5.1　数学的客观性与数学对象的客观存在性39

1.5.2　数学的客观性问题43

1.6　数学的可应用性48

1.6.1　数学实在论并未清楚解释可应用性48

1.6.2　什么是真正的可应用性问题？50

1.6.3 对可应用性的解释可能支持反实在论53

1.7　数学哲学研究的意义55

1.7.1　二十世纪数学哲学的演变55

1.7.2　数学哲学研究的意义57

第二章　一种自然主义数学哲学62

2.1 自然主义的基本信念62

2.1.1　什么是自然主义的基本信念？64

2.1.2 自然主义的认识论68

2.1.3 自然主义的指称理论72

2.1.4 自然主义背景下的真理与逻辑76

2.1.5 自然主义与抽象实体80

2.2 自然主义数学哲学的任务81

2.2.1　从虚构主义开始81

2.2.2　虚构主义的不足86

2.2.3 自然主义数学哲学的任务88

2.3 数学语言的意义与数学知识91

2.3.1 自然主义框架下的数学语言的意义91

2.3.2 自然主义框架下的数学知识97

2.4　数学的客观性98

2.4.1 涉及思想与事物的联系的客观性98

2.4.2　概念的客观性101

2.4.3　规则的客观性104

2.4.4　想象事物时的客观性106

2.5　数学的分析性、先天性与必然性108

2.5.1 自然主义框架下的先天性问题108

2.5.2　概念框架与分析性112

2.5.3 经验知识库与先天性的定义115

2.5.4　内在知识119

2.5.5　算术是分析的、先天的吗？120

2.5.6　逻辑与算术是必然的吗？123

2.6　数学的可应用性126

2.6.1 数学的可应用性问题的自然化126

2.6.2　解释可应用性的一个策略131

第三章　十九世纪的数学基础研究137

3.1 十九世纪的分析严格化运动138

3.1.1 十七、十八世纪的微积分与数学分析中的问题139

3.1.2　十九世纪的分析严格化运动141

3.1.3　从自然主义的角度看分析严格化运动143

3.2　康托尔与戴德金的实数理论150

3.2.1 康托尔与戴德金的实数理论的要点150

3.2.2　对实数理论的自然主义解读154

3.3　戴德金的自然数理论157

3.3.1 戴德金的自然数理论的要点157

3.3.2　戴德金的自然数理论的难点160

3.3.3　对戴德金的理论及其难点的自然主义分析164

3.3.4　皮亚诺的自然数公理165

3.4　悖论与数学基础的危机166

3.4.1　康托尔的集合论166

3.4.2　集合论的悖论与数学基础危机169

3.4.3　从自然主义角度的分析172

第四章　弗雷格与逻辑主义178

4.1 弗雷格的概念文字181

4.1.1 弗雷格的逻辑贡献181

4.1.2　弗雷格果真将直观知识还原为逻辑了吗？185

4.2 弗雷格的概念实在论与反心理主义192

4.2.1 弗雷格的概念实在论思想的要点192

4.2.2　从自然主义的角度看概念实在论197

4.2.3　从自然主义的角度看心理主义202

4.3 弗雷格的算术哲学204

4.3.1 弗雷格的算术哲学的要点204

4.3.2　数词必须指称对象吗？211

4.3.3 弗雷格的认识论难题214

4.4 罗素的类型论219

4.4.1 简单类型论的基本思想及其难题220

4.4.2　分支类型论的基本思想及其难题229

4.4.3　无穷公理及其问题233

4.4.4　从自然主义角度看类型论235

第五章　直觉主义239

5.1 与直觉主义相关的前期思想241

5.1.1 克罗内克的直觉主义思想241

5.1.2　庞加莱的数学哲学思想241

5.1.3　其他接近直觉主义倾向的思想247

5.2 布劳威尔的直觉主义248

5.2.1 布劳威尔的直觉主义数学哲学的要点248

5.2.2 从自然主义的角度看布劳威尔的直觉主义254

5.3　达米特的直觉主义258

5.3.1 达米特的数学直觉主义的要点259

5.3.2　从自然主义的角度看达米特对经典数学的批评265

5.3.3 从自然主义的角度看达米特的验证论意义理论273

5.4 构造主义276

第六章　形式主义与不完全性定理282

6.1 希尔伯特方案284

6.1.1　希尔伯特的有穷主义数学285

6.1.2　希尔伯特的证明论思想294

6.2　哥德尔不完全性定理300

6.2.1　哥德尔第一不完全性定理301

6.2.2　哥德尔第二不完全性定理309

6.2.3　不完全性定理的其他形式310

6.3 自然主义看形式主义与不完全性定理313

6.3.1 自然主义对有穷主义数学观念的澄清314

6.3.2 自然主义对希尔伯特方案的新解释318

6.3.3 自然主义看不完全性定理与实在论325

第七章　卡尔纳普与逻辑实证主义328

7.1 作为重言式的数学331

7.1.1 逻辑实证主义所面临的数学哲学问题331

7.1.2　早期逻辑实证主义者的回答：数学是重言式333

7.1.3 他们的难题：存在性数学公理如何是重言式？338

7.2　作为语言的约定的数学345

7.2.1　卡尔纳普哲学的要点346

7.2.2　卡尔纳普哲学的内在问题356

7.3 从自然主义的角度看逻辑实证主义364

7.3.1 分析逻辑实证主义的语言、意义与真理观364

7.3.2　数学公理是分析真理吗？370

7.3.3　语言框架及其使用主体是什么？374

第八章　哥德尔的实在论380

8.1 哥德尔的概念实在论383

8.1.1　概念实在论的要点383

8.1.2　对概念实在论及其论证的分析、批评391

8.2　心灵与机器401

8.2.1 哥德尔的心灵观的要点401

8.2.2　对哥德尔的心灵观的评论405

第九章　蒯因与不可或缺性论证409

9.1 蒯因的基本哲学思想412

9.1.1　蒯因的自然主义412

9.1.2　蒯因的整体主义416

9.1.3　蒯因的本体论423

9.1.4　蒯因的真理观426

9.2　不可或缺性论证430

9.2.1　不可或缺性论证概述431

9.2.2　数学对象不可或缺吗？435

9.2.3 科学应用能核证数学对象的存在性吗？442

9.2.4 用数学变元就蕴涵着承诺数学对象的存在性吗？456

9.3 蒯因式自然主义的内在问题458

9.3.1 蒯因的一些非自然主义的概念460

9.3.2 对蒯因哲学的问题的一个心理解释467

9.3.3 重新检视蒯因的主要哲学思想471

参考文献480

名词索引492