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第7章 空间解析几何1

7.1空间直角坐标系1

习题7.13

7.2向量代数3

7.2.1向量的概念3

7.2.2向量的加法与数乘4

7.2.3向量的坐标7

7.2.4向量的数量积11

7.2.5向量的向量积15

7.2.6向量的混合积19

习题7.221

7.3.1平面的方程23

7.3平面与直线23

7.3.2两平面的关系25

7.3.3点到平面的距离27

7.3.4直线的方程28

7.3.5两直线的位置关系30

7.3.6点到直线的距离32

7.3.7直线与平面的关系32

习题7.334

7.4常见曲面37

7.4.1柱面37

7.4.2旋转曲面38

7.4.3椭球面39

7.4.4单叶双曲面40

7.4.5双叶双曲面41

7.4.6二次锥面42

7.4.7椭圆抛物面43

7.4.8双曲抛物面44

习题7.445

7.5空间坐标变换46

7.5.1坐标系的平移46

7.5.2球坐标47

习题7.548

第8章 多变量函数的微分学49

8.1平面点集及R2的完备性49

8.1.1 平面点集的一些基本概念49

8.1.2开集与闭集51

8.1.3连通集51

8.1.4 R2的完备性53

习题8.154

8.2映射及其连续性55

8.2.1映射、多元函数、向量值函数的概念55

8.2.2多元函数的极限57

8.2.3多元函数的连续性58

8.2.4映射的极限和连续性59

习题8.259

8.3多变量函数的微分和偏微商61

8.3.1多变量函数的微分61

8.3.2多元函数的偏导数61

8.3.3 高阶偏微商64

习题8.366

8.4.1复合函数求导的链式法则68

8.4复合函数的微分法68

8.4.2Jacobi矩阵71

8.4.3方向导数、梯度72

8.4.4一阶微分的形式不变性74

8.4.5例题74

习题8.475

8.5隐函数的微分法77

8.5.1多元方程所确定的隐函数的存在定理77

8.5.2由方程组所确定的隐函数组80

习题8.582

8.6向量值函数的微分法85

8.6.1一元向量值函数的微分法85

8.6.2二元向量值函数的微分法86

8.6.3隐式曲面的法向量和两隐式曲面交线的切向量89

习题8.692

8.7 多元函数的Tay1or公式与极值93

8.7.1 二元函数的Taylor公式93

8.7.2多变量函数的极值95

8.7.3条件极值98

习题8.7105

第9章 多变量函数的重积分108

9.1二重积分108

9.1.1二重积分的概念108

9.1.2二维闭区间上二重积分的定义109

9.1.3二维闭区间上二重积分的累次积分法110

9.1.4 平面有界集上二重积分的定义和性质112

9.1.5关于面积和二重积分的定义114

9.1.6有界集上二重积分的累次积分法116

习题9.1120

9.2二重积分的变量代换121

9.2.1 曲线坐标和面积元素121

9.2.2二重积分的变量代换123

9.2.3例题124

9.2.4 广义二重积分128

习题9.2130

9.3三重积分132

9.3.1三重积分的定义132

9.3.2三重积分的累次积分法133

9.3.3三重积分的变量代换138

习题9.3140

9.4重积分应用举例142

9.4.1重心与转动惯量142

9.4.2物体的引力146

习题9.4148

第10章 曲线积分和曲面积分149

10.1第一型曲线积分149

10.1.1空间曲线的弧长149

10.1.2第一型曲线积分152

习题10.1155

10.2空间曲线的曲率156

10.2.1主法向量和副法向量156

10.2.2空间曲线的曲率157

10.2.3平面曲线的曲率158

10.2.4 平面曲线的曲率圆159

习题10.2160

10.3第一型曲面积分160

10.3.1曲面的面积160

10.3.2第一型曲面积分164

习题10.3166

10.4第二型曲线积分167

10.4.1定向曲线167

10.4.2第二型曲线积分的定义168

10.4.3第二型曲线积分的计算与性质168

10.4.4 Green定理172

习题10.4174

10.5.1双侧曲面及其定向175

10.5第二型曲面积分175

10.5.2第二型曲面积分的定义177

10.5.3第二型曲面积分的计算177

10.5.4第二型曲面积分的性质178

10.5.5有向面积元素178

10.5.6例子179

习题10.5183

10.6Gauss定理和Stokes定理184

10.6.1 量场的散度184

10.6.2 Gauss定理184

10.6.3 Stokes定理188

10.6.4旋度190

习题10.6192

10.7保守场194

10.7.1恰当微分形式和有势场194

10.7.2全微分的积分195

10.7.3保守场195

10.7.4无旋场197

10.7.5全微分方程199

习题10.7200

10.8外微分形式202

10.8.1积分中的定向202

10.8.2基本外微分形式及其不变性205

10.8.3外微分形式和外微分形式的外积207

10.8.4外微分形式的外微分208

10.8.5 Stokes公式209

10.8.6恰当微分形式210

习题10.8212

10.9 Hamilton算符212

习题10.9215

第11章 无穷级数216

11.1数项级数216

11.1.1无穷级数的基本概念216

11.1.2正项级数218

11.1.3级数收敛的一般判别法224

11.1.4绝对收敛与条件收敛225

11.1.5分部求和法227

习题11.1229

11.2.1函数列和函数项级数的收敛性231

11.2函数列和函数项级数231

11.2.2函数列和函数项级数的一致收敛性232

11.2.3一致收敛的函数列和一致收敛级数的性质236

习题11.2238

11.3幂级数和Taylor展式240

11.3.1幂级数的收敛半径240

11.3.2幂级数的性质243

11.3.3函数的Taylor展开式247

113.4某些初等函数的Taylor展开式249

习题11.3252

11.4级数的应用254

11.4.1微分方程的幂级数解254

11.4.2 Stirling公式257

习题11.4259

第12章 广义积分和含参变量的积分260

12.1广义积分260

12.1.1无穷积分的收敛性260

12.1.2 收敛的精细判别法262

12.1.3无界函数积分的收敛判别法264

习题12.1266

12.2含参变量的常义积分267

12.2.1含参变量的常义积分的性质267

12.2.2积分限依赖于参变量的积分的性质270

习题12.2272

12.3含参变量的广义积分273

12.3.1含参变量的广义积分的一致收敛性273

12.3.2一致收敛积分的性质276

12.3.3几个重要的积分280

习题12.3284

12.4.Euler积分286

12.4.1 Γ函数的性质286

12.4.2 B函数的性质288

习题12.4291

第13章 Fourier分析293

13.1周期函数的Fourier级数293

13.1.1 三角函数系的正交性和Fourier级数293

13.1.2偶函数与奇函数的Fourier级数297

13.1.3任意周期的情形299

13.1.4有限区间上的函数的Fourier级数301

13.1.5 Fourier级数的复数形式306

13.1.6 Bessel不等式307

习题13.1310

13.2 广义Fourier级数312

13.2.1 广义Fourier级数312

13.2.2 Bessel不等式和正交函数系的完备性314

习题13.2316

13.3 Fourier变换316

13.3.1 Fourier积分316

13.3.2 Fourier变换318

13.3.3 Fourier变换的性质321

习题13.3324

附录326

A1参考答案326

A2参考教学进度342